La primitive de cos u est l’une des formules les plus courantes en Terminale, et pourtant elle génère régulièrement des erreurs. La confusion vient d’un détail que le cours présente souvent trop vite : la formule n’est pas « une primitive de cos(u(x)) est sin(u(x)) », mais « une primitive de u'(x)cos(u(x)) est sin(u(x)) ». Ce n’est pas la même chose, et l’expliquer correctement à un camarade demande de remonter à la dérivation.
Ce que dit vraiment la formule primitive cos u
La formule s’énonce ainsi : si u est une fonction dérivable sur un intervalle, alors une primitive de u'(x)cos(u(x)) est sin(u(x)) + C, où C est une constante réelle.
La preuve tient en une ligne : on dérive sin(u(x)) par la règle de la chaîne, et on obtient u'(x)cos(u(x)). La formule de primitive n’est donc que cette dérivation lue à l’envers.
C’est ce point de départ qu’il faut transmettre en premier. La primitive ne surgit pas d’une liste à mémoriser, elle se reconstruit depuis une dérivée connue.
Pourquoi cos(u(x)) seul n’admet pas sin(u(x)) comme primitive
C’est l’erreur la plus fréquente, et un bon exemple la rend immédiatement visible. Prends u(x) = x². La dérivée de sin(x²) vaut 2x·cos(x²), pas cos(x²) seul. La primitive immédiate de 2x·cos(x²) est sin(x²), mais cos(x²) seule n’a pas sin(x²) comme primitive.
Pour le vérifier, il suffit de demander à ton camarade de dériver sin(x²). Le facteur 2x apparaît automatiquement par la règle de la chaîne, et il n’était pas dans la fonction de départ. La formule n’est donc applicable que si ce facteur u'(x) est présent.
Ce test de dérivation est l’outil pédagogique le plus efficace : on ne mémorise pas une réponse, on la vérifie.
Le cas particulier de cos(ax + b) : compenser le facteur manquant
En pratique, beaucoup d’exercices portent sur des fonctions de la forme cos(ax + b) avec a différent de zéro. Ici, u(x) = ax + b, donc u'(x) = a.
On cherche F(x) telle que F'(x) = cos(ax + b). On sait que la dérivée de sin(ax + b) vaut a·cos(ax + b). Pour obtenir cos(ax + b) sans le facteur a, on divise : une primitive de cos(ax + b) est (1/a)·sin(ax + b) + C.
Pour expliquer cela à un camarade, le raisonnement à voix haute est plus clair que la formule : « Je veux que la dérivée donne cos(ax + b). Je sais que dériver sin(ax + b) me donne a·cos(ax + b). Je divise donc par a pour annuler ce facteur. »
Ce raisonnement fonctionne pour tout u linéaire, et il s’adapte à sin(ax + b) avec le même mécanisme.
Méthode pratique pour reconnaître une primitive de cos u dans un exercice
Quand on présente un exercice à un camarade, il est utile de lui donner une procédure explicite plutôt qu’une intuition vague. Voici les étapes à suivre pour identifier si la formule u’cos(u) s’applique :
- Identifier u(x) : repérer la fonction à l’intérieur du cosinus. Par exemple, dans cos(3x² + 1), on a u(x) = 3x² + 1.
- Calculer u'(x) : dériver u. Ici, u'(x) = 6x.
- Vérifier si u'(x) est présent en facteur : si la fonction à intégrer est 6x·cos(3x² + 1), la formule s’applique directement et la primitive est sin(3x² + 1) + C. Si seul cos(3x² + 1) est présent sans 6x, la formule directe ne s’applique pas sans ajustement.
- Ajuster si u est linéaire : si u(x) = ax + b, diviser par a comme expliqué au-dessus. Si u est non linéaire et que u’ est absent, l’intégrale ne se calcule pas par cette méthode simple.
Cette procédure rend visible le moment où la formule est applicable et celui où elle ne l’est pas, ce qui est exactement ce qu’un camarade doit comprendre avant de se lancer dans un calcul.
La constante d’intégration : un point à ne pas négliger
Une primitive n’est pas unique. Sur un intervalle donné, deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante réelle. C’est pourquoi on écrit toujours « + C » à la fin.
Pour l’expliquer simplement : les fonctions sin(u(x)) + 3 et sin(u(x)) – 7 ont toutes deux la même dérivée, puisque la dérivée d’une constante est nulle. La constante C représente l’ensemble complet des primitives, pas un oubli de calcul.
Dans un exercice avec condition initiale (par exemple, F(0) = 2), on détermine C en substituant la valeur connue. C’est la seule façon d’isoler une primitive particulière parmi toutes les primitives d’une fonction.
Un dialogue type pour transmettre le concept
Expliquer à un camarade ne se réduit pas à réciter la formule. Voici comment structurer une explication orale en quelques échanges :
D’abord, partir de ce qu’il sait déjà : « Tu sais dériver sin(u(x)) ? » La réponse est u'(x)cos(u(x)). Ensuite, retourner la question : « Donc si je te donne u'(x)cos(u(x)), quelle fonction a cette dérivée ? » La réponse vient naturellement : sin(u(x)).
Puis introduire le piège immédiatement : « Et si je te donne cos(x²) sans le 2x devant, est-ce que sin(x²) convient ? » Lui demander de vérifier en dérivant. Le facteur 2x apparaît, la réponse est non.
Cette séquence question-vérification est plus durable qu’un cours frontal, parce qu’elle oblige le camarade à produire lui-même l’argument décisif.
La formule de la primitive cos u repose entièrement sur la règle de la chaîne appliquée à rebours. Savoir l’expliquer, c’est savoir identifier le facteur u'(x), vérifier sa présence dans la fonction à intégrer, et reconstruire la réponse par dérivation plutôt que par mémorisation. C’est cette capacité de vérification qui distingue une maîtrise solide d’une simple récitation de formule.
