La formule sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b n’est pas qu’une identité à mémoriser pour un examen. Le produit sin a cos b constitue le motif algébrique fondamental dont découlent les formules de double angle, les identités produit-vers-somme et la décomposition matricielle des rotations planes. Comprendre ce produit, c’est tenir le fil qui relie la moitié de la trigonométrie.
Sin a cos b comme identité produit-vers-somme
La plupart des cours présentent sin(a+b) et sin(a-b) comme deux formules distinctes. En les additionnant membre à membre, on obtient directement :
sin(a+b) + sin(a-b) = 2 sin a cos b
D’où l’identité produit-vers-somme : sin a cos b = (1/2)[sin(a+b) + sin(a-b)]. Cette lecture inverse est absente de la majorité des fiches scolaires, alors qu’elle permet de convertir un produit trigonométrique en somme, ce qui simplifie considérablement le calcul de primitives et la résolution d’équations différentielles linéaires à coefficients constants.
La dérivation est strictement mécanique : on pose les deux identités d’addition et de soustraction du sinus, on les somme, le terme cos a sin b s’annule par symétrie. Aucune astuce géométrique n’est requise.
Application au calcul intégral
Lorsqu’on rencontre une intégrale de la forme ∫ sin(mx) cos(nx) dx, la conversion produit-vers-somme transforme le problème en deux intégrales de sinus purs. Nous recommandons cette factorisation systématiquement avant toute tentative d’intégration par parties, car elle réduit le nombre d’étapes de calcul.
Lien entre sin a cos b et la formule sin(2x)
Les formules de double angle sont un cas particulier souvent traité à part, alors qu’elles découlent directement du produit sin a cos b. Il suffit de poser a = b dans sin(a+b) :
sin(a+a) = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin a cos a
On obtient sin(2a) = 2 sin a cos a, ce qui montre que la structure sin a cos b est le motif générateur de sin(2x). Ce n’est pas une coïncidence pédagogique : le produit sin a cos a apparaît naturellement dans la dérivée de sin²(x), dans l’expression de la puissance instantanée d’un signal sinusoïdal et dans le calcul de la portée maximale d’un projectile (qui dépend de sin(2θ)).
Pourquoi le facteur 2 compte
Le facteur 2 devant sin a cos a n’est pas anodin. Il traduit la symétrie du produit : sin a cos b et cos a sin b contribuent de manière égale quand a = b. Oublier ce facteur est l’une des erreurs les plus fréquentes dans les copies d’examen et dans les implémentations numériques de rotations.
Matrice de rotation et sin(a+b) : la preuve algébrique la plus propre
La démonstration la plus élégante de sin(a+b) passe par le produit de deux matrices de rotation planes. En multipliant la matrice de rotation d’angle B par le vecteur colonne (cos A, sin A), on obtient :
| cos B | -sin B |
| sin B | cos B |
appliqué à (cos A, sin A), ce qui donne le vecteur (cos(A+B), sin(A+B)). La deuxième composante du résultat fournit directement :
sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B
Cette approche matricielle présente trois avantages par rapport à la démonstration géométrique classique (projection sur le cercle unité) :
- Elle ne dépend d’aucune figure et reste valable pour des angles quelconques, y compris négatifs ou supérieurs à 2π
- Elle montre simultanément les formules pour sin(A+B) et cos(A+B), puisque la première composante donne cos(A+B) = cos A cos B – sin A sin B
- Elle se généralise directement aux rotations en dimension 3 via les matrices d’Euler, ce qui en fait l’outil de référence en robotique et en infographie 3D
Composer des rotations revient à multiplier sin a cos b
Chaque fois qu’un moteur de rendu 3D compose deux rotations successives, il effectue des produits de la forme sin a cos b et cos a cos b. La formule sin(a+b) n’est alors pas une identité abstraite : c’est l’opération élémentaire qui permet de fusionner deux transformations en une seule matrice.
Formules de factorisation sin p + sin q : le chemin inverse
L’identité produit-vers-somme possède une réciproque tout aussi utile. En posant p = a+b et q = a-b (donc a = (p+q)/2 et b = (p-q)/2), on transforme la somme de deux sinus en produit :
sin p + sin q = 2 sin((p+q)/2) cos((p-q)/2)
Ce passage somme-vers-produit est la technique standard pour résoudre des équations du type sin(5x) + sin(3x) = 0. Sans cette factorisation, on se retrouve avec des développements en polynômes de Tchebychev qui alourdissent considérablement le calcul.
Traitement du signal et battements
En physique, la superposition de deux ondes sinusoïdales de fréquences proches produit un phénomène de battements. L’expression mathématique de ce phénomène repose exactement sur la factorisation somme-vers-produit : le terme en cosinus à basse fréquence module l’amplitude du terme en sinus à haute fréquence. Le produit sin a cos b encode la structure des battements acoustiques.
Récapitulatif des identités dérivées de sin a cos b
| Identité | Formule | Obtenue par |
|---|---|---|
| Produit-vers-somme | sin a cos b = (1/2)[sin(a+b) + sin(a-b)] | Addition des formules sin(a+b) et sin(a-b) |
| Double angle | sin(2a) = 2 sin a cos a | Cas a = b dans sin(a+b) |
| Somme-vers-produit | sin p + sin q = 2 sin((p+q)/2) cos((p-q)/2) | Substitution inverse p = a+b, q = a-b |
| Rotation matricielle | Composante (2,1) du produit R(B) · (cos A, sin A) | Produit matrice-vecteur |
Le produit sin a cos b n’est pas un fragment isolé de la trigonométrie. C’est le noyau algébrique qui relie les formules d’addition, les identités de double angle, les transformations produit-somme et la composition des rotations. Maîtriser ce seul motif permet de retrouver la quasi-totalité des identités trigonométriques sans recourir à la mémorisation brute.
